Задачи на тему «Сила упругости. Закон Гука» с решениями

Сила упругости – сила, препятствующая деформациям и стремящаяся восстановить первоначальные форму и размеры тела.

Примеры действия силы упругости:

пружины сжимаются и разжимаются в матрасе;
мокрое белье колышется на натянутой веревке;
лучник натягивает тетиву, чтобы выпустить стрелу.

Простейшие деформации – деформации растяжения и сжатия.
Закон Гука:

Деформация, возникающая в упругом теле под действием внешней силы, пропорциональна величине этой силы.

Коэффициент k – жесткость материала.

Есть и другая формулировка закона Гука. Введем понятие относительной деформации «эпсилон» и напряжения материала «сигма»:

S – площадь поперечного сечения деформируемого тела. Тогда закон Гука запишется так: относительная деформация пропорциональна напряжению.

Здесь Е – модуль Юнга, зависящий от свойств материала.

Закон Гука был экспериментально открыт в 1660 году англичанином Робертом Гуком.

В каких условиях применяется закон Гука

Универсальным вариантом для применения закона Гука является тонкий стержень. (F) в данном случае выражает ту силу, которая к нему прилагается. Зависит она от разницы длины до и после воздействия, а также коэффициента упругости материала.

Как было сказано выше, (k) зависит от качества материала и габаритов. Выражая названую зависимость через площадь сечения и длину, формула для коэффициента получает следующий вид: (F=ES/L) . Буквой (Е) здесь обозначается все тот же модуль Юнга – механические свойства материала. Далее следует ввести понятия относительного удлинения:

и напряжения в поперечном сечении:

Конечная формула закона Гука может выглядеть и так:

Для понимания того, какие условия необходимы для функционирования закона Гука, достаточно рассмотреть два понятия: среда и сила. В таких средах, как газы, жидкости, особенно вязкие, механические особенности процессов упругости не действуют. В то же время даже очень интенсивная сила не будет работать в ряде сред.

Обязательные условия для ее проявления:

Незначительные изменения формы.
Достаточная упругость материала.
В материале ни при каком воздействии не происходит изменений линейного характера.

Рассмотрим график, отражающий зависимости:

Нижний левый квадрат демонстрирует линейную зависимость при не интенсивных растяжениях. Затем пунктирная линия демонстрирует потерю этой «линейности». Визуально это проявляется «непослушанием» пружины: она перестает принимать свой первоначальный вид при интенсивном растяжении. Если его вовсе не прекращать, может нарушиться природная структура материала, произойдет полный излом.

Аналогичная картина наблюдается при процессе сжатия. В правом верхнем квадрате отражены следующие особенности:

При небольшом сжатии – связь прямая (красная линия).

При увеличении силы зависимость теряет «линейность» — см. пунктир.

Сильное сжатие заставляет пружину нагреваться, она теряет первичные свойства. Происходит слипание витков и разрушение структуры материала.

Сила упругости и закон Гука: определения

Сила упругости – сила, препятствующая деформациям и стремящаяся восстановить первоначальные форму и размеры тела.

Примеры действия силы упругости:

пружины сжимаются и разжимаются в матрасе;
мокрое белье колышется на натянутой веревке;
лучник натягивает тетиву, чтобы выпустить стрелу.

Деформация, возникающая в упругом теле под действием внешней силы, пропорциональна величине этой силы.

Коэффициент k – жесткость материала.

Читайте так же:

Обогрев зеркал своими руками

Здесь Е – модуль Юнга, зависящий от свойств материала.

Закон Гука был экспериментально открыт в 1660 году англичанином Робертом Гуком.

Закон Гука

Эмпирическая зависимость силы упругости от величины деформации была установлена во времена И. Ньютона английским ученым Р. Гуком. Закон упругой деформации назван по имени своего первооткрывателя. Этот закон выполняется только для малых упругих деформаций. Закон Гука утверждает, что при малых упругих деформациях величина деформации пропорциональна силе ее вызывающей. Закон Гука выполняется для разных видов упругой деформации (растяжения, сжатия, сдвига, кручения, изгиба).

Так, деформацию растяжения (сжатия) принято характеризовать при помощи абсолютного удлинения ($Delta l=left|l-l_0right|$, где $l_0$ — длина недеформированного стержня). Закон Гука относительно сил упругости формулируют как:

где $k$ — коэффициент упругости (коэффициент жесткости, жесткость), $left[kright]=frac<Н><м>$. Коэффициент упругости зависит от материала тела, его размеров и формы.

Закон Гука хорошо работает для деформаций, которые возникают в стержнях из стали, чугуна, и других твердых веществ, в пружинах. Справедлив закон Гука для деформаций растяжения и сжатия.

Если деформации тела малы, то силы упругости можно определять по ускорению, которое данные силы сообщают телам. Если тело неподвижно, то модуль силы упругости находят из равенства нулю векторной суммы сил, которые действуют на тело.

При больших деформациях линейной зависимости между величиной деформации и силами нет.

Закон Гука.

Деформация называется малой, если изменение размеров тела много меньше его первоначальных размеров. При малых деформациях зависимость силы упругости от величины деформации оказывается линейной.

Закон Гука. Абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна величине деформации. В частности, для пружины, сжатой или растянутой на величину , сила упругости даётся формулой:

где — коэффициент жёсткости пружины.

Коэффициент жёсткости зависит не только от материала пружины, но также от её формы и размеров.

Из формулы (1) следует, что график зависимости силы упругости от (малой) деформации является прямой линией (рис. 1 ):

Рис. 1. Закон Гука

Коэффициент жёсткости — о угловой коэффициент в уравнении прямой . Поэтому справедливо равенство:

где — угол наклона данной прямой к оси абсцисс. Это равенство удобно использовать при экспериментальном нахождении величины .

Читайте так же:

Как написать открытое письмо президенту РФ

Подчеркнём ещё раз, что закон Гука о линейной зависимости силы упругости от величины деформации справедлив лишь при малых деформациях тела. Когда деформации перестают быть малыми, эта зависимость перестаёт быть линейной и приобретает более сложный вид. Соответственно, прямая линия на рис. 1 — это лишь небольшой начальный участок криволинейного графика, описывающего зависимость от при всех значениях деформации .

Задачи на тему Сила упругости

При рассмотрении механических задач большинство сил, действующих на тела, можно отнести к трем основным разновидностям:

— сила всемирного тяготения;

Рассмотрим падение некоего тела с высоты без начальной скорости (Рис. 1).

Рис. 1. Падение тела с высоты без начальной скорости

Все окружающие нас тела притягиваются к Земле, это обусловлено действием сил всемирного тяготения. Если мы будем пренебрегать сопротивлением воздуха, то мы уже знаем, что все тела падают на Землю с одинаковым ускорением – ускорением свободного падения.

Тело, подвешенное на пружине динамометра (рис. 2):

Рис. 2. Тело, подвешенное на пружине динамометра

Как и всякий предмет, тело, подвешенное на пружине, стремится упасть вниз из-за притяжения Земли, но, когда пружина растянется до некоторой длины, тело останавливается, то есть приходит в состояние механического равновесия. Мы уже знаем, что механическое равновесие наступает, когда сумма сил, действующих на тело, равна нулю. Это означает, что сила тяжести, действующая на груз, должна уравновеситься с некоторой силой, действующей со стороны пружины. Эта сила, направленная против силы тяжести и действующая со стороны пружины, называется силой упругости.

Движение тела по шероховатой поверхности с некоторой начальной скоростью (Рис. 3):

Рис. 3. Движение тела по шероховатой поверхности с некоторой начальной скоростью

Пройдя некоторое расстояние, тело останавливается, скорость тела уменьшается от начального значения до нуля, то есть ускорение тела – величина отрицательная. Следовательно, на тело со стороны поверхности действует сила, которая стремится остановить это тело, то есть действует против его скорости. Эта сила называется силой трения.

Рассмотрим более подробно силу упругости.

Любое твердое тело оказывает противодействие попыткам изменить его размеры или форму. Изменение размеров или формы твердого тела называется деформацией. Существует пять основных видов деформации:

Любые деформации, величина которых мала по сравнению с размерами тела, вызывают внутри этого тела появлению сил упругости, которые стремятся вернуть это тело в изначальное положение. Нас интересуют деформации растяжение и сжатие, поскольку остальные виды деформаций физически совершенно аналогичны, а их математическое описание гораздо более сложно.

Сила упругости подчиняется закону, который был открыт экспериментально английским ученым Робертом Гуком в 1660 году (рис. 4).

Рис. 4. Эксперимент Роберта Гука

Читайте так же:

Отчет о - движении денежных средств: бланк формы, кому сдавать

Твердый стержень подвергался деформации растяжения, при этом измерялась сила упругости, возникающая в стержне. Для количественного описания деформации стержня используется величина – удлинение, то есть разность между длиной стержня в растянутом и не растянутом состоянии. Оказалось, что при малых деформациях величина силы упругости прямо пропорциональна удлинению. Направление силы упругости противоположно перемещению противоположного конца стержня, коэффициент упругости или коэффициент жесткости зависит от размеров стержня и материала, из которого он изготовлен.

Проверим роль этого коэффициента на опыте.

К трем различным пружинам подвесим груз одинакового веса в 1 ньютон (Рис. 5). Мы увидим, что три пружины растянутся на разную величину. Естественно, что пружина, у которой жесткость наибольшая, растянется на наименьшую величину и пружина, жесткость у которой наименьшая, будет растянута больше всего. Величина удлинения является положительной при растяжении стержня и отрицательной при сжатии.

Рис. 5. Опыт с пружинами

Формула F_упр = — kx представляет математическую запись закона Гука, знак минус в формуле отражает тот факт, что сила упругости противоположна перемещению свободного конца стрежня. Закон Гука гласит:

Сила упругости, возникающая в стержне при его малой деформации, прямо пропорциональна величине его удлинения и направлена в сторону, противоположную перемещению свободного конца стержня.

Что же служит причиной возникновения сил упругости? Как мы помним, все вещества состоят из молекул, между которыми действуют силы притяжения и отталкивания. Причем силы притяжения начинают играть заметную роль, когда расстояние между двумя молекулами превышает некоторое равновесное значение, а силы отталкивания начинают играть заметную роль, когда это расстояние меньше равновесного значения (рис. 6).

Рис. 6. Взаимодействие сил притяжения и отталкивания

Растяжение стержня как раз и означает увеличение расстояния между молекулами, сжатие же стержня означает уменьшение этих расстояний. Таким образом, мы можем сделать вывод, что сила упругости является следствием наличия межмолекулярного взаимодействия. На малых расстояниях молекулы отталкиваются, на больших расстояниях притягиваются.

Примеры задач

Разберем два примера, которые помогут нам в решении задач.

1. Если груз с некоторой массой положить на горизонтальную поверхность, то этот груз начнет оказывать на поверхность давление, силу этого давления называют весом груза (рис. 7).

Рис. 7. Пример задачи на силу реакции опоры

Под действием этой силы давления опора начнет деформироваться, если говорить о виде деформации, то это будет деформация сжатия. В результате этой деформации внутри опоры возникнут силы упругости, которые будут стремиться уменьшить эту деформацию. Эти силы будут направлены против силы давления груза, Эту силу упругости, которая возникает в опоре при давлении на нее груза, называют силой реакции опоры. Абсолютно такая же сила реакции возникает, если груз давит на не горизонтальную опору.

Читайте так же:

Разделение работников на РСиС и рабочих - Трудовое право - Конференция ЮрКлуба

2. Подвес подвергается деформации растяжения (рис. 8).

Рис. 8. Пример на силу реакции подвеса

Силу упругости, возникающую в подвесе, называют силой реакции подвеса, иногда силой натяжения. Важно знать особенность сил упругости, которая возникает при контакте двух макроскопических тел: в этом случае сила упругости всегда будет перпендикулярна поверхности соприкосновения. Если же речь идет о тонких телах, то есть стержни, шнуры, то в них сила упругости будет всегда направлена вдоль осей этих тел.

Прикладное значение силы упругости

Нельзя обойти вниманием одно из простых, но важных применений силы упругости, а именно измерении сил в механике. Прибор для измерения силы называется динамометром. Самый простой динамометр изображен на Рис. 9. Если к свободному концу пружины приложить некоторую силу, то пружина подвергается деформации растяжения. Если к каждому значению удлинения пружины подставить значение силы в ньютонах, то мы можем проградуировать этот прибор. После этого мы получим полноценный прибор для измерения сил. Этот прибор характерен тем, что силы будут измеряться, если груз подвесить к пружине. Существует и другая разновидность динамометра, которая может измерять силы не только при подвешивании, но и при закреплении его сверху (Рис. 9).

Рис. 9. Динамометр демонстрационный

Задача 1

Рассмотрим задачу о движении тела под действием силы упругости в случае отсутствия других сил, скорость движения тела и сила упругости направлены вдоль одной и той же прямой (рис. 10).

Рис. 10. Задача 1

Моделью такой задачи может служить тело, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности и прикрепленное к пружине. Гладкость поверхности нам необходима, чтобы пренебречь трением между поверхностью и телом. Предположим, что в некоторый начальный момент времени мы оттянули тело на некоторое расстояние от первоначального положения тела и отпустили.

В соответствии со вторым законом Ньютона тело движется так, что его ускорение равно отношению равнодействующей всех сил, действующих на тело, к его массе. При этом нет необходимости рассматривать вертикально направленные силы, поскольку они взаимно скомпенсированы и проекция ускорения на вертикальное направление равна нулю. Следовательно, необходимо рассмотреть лишь горизонтальные силы и проекцию ускорения. В горизонтальном направлении действует лишь сила упругости, поэтому уравнение движения будет выглядеть таким образом: масса тела, умноженная на проекцию горизонтального ускорения, будет равна -kx, где -kx и есть сила упругости F_упр, действующая со стороны пружины.

Решив это уравнение, мы могли бы полностью описать движение тела, но процесс решения был бы затруднителен из-за того, что, как мы видим из уравнения, ускорение прямо пропорционально удлинению пружины. Удлинение постоянно меняется с течением времени, следовательно, и ускорение так же будет меняться со временем. В этой задаче мы сталкиваемся с новым типом движения, в котором ускорение не постоянно. Пока теоретически мы его изучить не можем, изучим его на опыте – при проведении эксперимента можно обнаружить, что движение тела носит периодический характер, то есть оно двигается вправо и влево, постоянно повторяя свое движение. Такое движение в механике называют колебательным, и в последующих уроках мы изучим его более подробно.

Читайте так же:

Какие стены можно сносить в панельном доме

Задача 2

На рисунке 11 представлен график зависимости модуля силы упругости от удлинения пружины. Какова жесткость пружины?

Приведены четыре варианта ответа:

1. 750 Н/м; 2. 75 Н/м; 3. 0,13 Н/м; 4. 15 Н/м.

Рис. 11. Задача 2

Воспользуемся математической записью закона Гука, применив операцию взятия модуля к обеим частям равенства. Поскольку удлинение пружины – величина положительная, в правой части равенства модуль можно не писать. Таким образом, мы видим, что модуль силы упругости равен kx, где k – коэффициент жесткости пружины, x – удлинение пружины. Выберем на графике точку, которую сможем легко определить, пусть это будет точка А. Мы видим, что при удлинении пружины, равном 8 см, сила упругости равна 60 Н. Если воспользоваться записью закона Гука и разделить силу упругости на удлинение пружины, то мы бы могли определить коэффициент жесткости. Но нужно учесть, что мы работаем в системе СИ, а график приведен таким образом, что удлинение дано в сантиметрах. Значит до того, как мы будем искать ответ, мы должны перевести удлинение в метры. После проведенных преобразований получим, что коэффициент жесткости равен 750 Н/м. Правильный вариант ответа – номер 1.

Интересные факты

Знаменитый закон Гука применяется практически во всех сферах нашей жизни. Без него никак нельзя обойтись ни в повседневном быту, ни в архитектуре. Этот закон используют при строительстве домов и автомобилей. Эго даже применяют в торговле.

Но, наверное, не каждый из вас мог себе представить, что сила упругости может быть применена и на арене цирка. Еще в позапрошлом веке в знаменитом цирке Франкони был продемонстрирован номер под названием «Человек- бомба».

Для этого, на арене цирка установили огромных размеров пушку, из которой произвели выстрел человеком. Зрители были шокированы этим номером, так как не подозревали, что выстрел был произведен не пороховыми газами, а с помощью пружины. В стволе пушки поместили мощную упругую пружину и после команды «пли!» из дула пружина выбрасывала на арену артистку. Ну, а грохот, дым и огонь только усиливали эффект этого номера и наводили ужас на зрителей.

5 1 голос

Рейтинг статьи